Vibraciones Mecánicas


2.1- Aplicaciones


Si añadimos una fuerza más al sistema anterior, tendremos algo más próximo a lo que sucede en un altavoz, ya que el altavoz lo que hace es eso exactamente, es el sistema resonante que hemos estudiado, pero además existe un motor magnético que genera una fuerza que desplazará el cono. Fe es la nueva fuerza añadida.


external image 32%20-%20md2xdt2=fsfdfe.gif

Podemos escribir la ecuación de esta forma, reuniendo todas las fuerzas presentes:

external image 33%20-%20md2xdt2cdxdtkx=ft.gif

En el caso del altavoz, la fuerza de excitación es una suma de frecuencias puras, y resulta interesante examinar el caso de cuando f(t) es una onda cosenoidal pura:

external image 34%20-%20md2xdt2cdxdtkx=f0coswt.gif (ec2)

Como ya hemos resuelto la parte homogénea, aplicaremos el método de los coeficientes indeterminados para hallar la resolución, que será alguna de las tres posibles soluciones anteriores (soluciones homogéneas) más una solución particular. Tomaremos como solución:

external image 35%20-%20x=asenwtbcoswt.gif

Sustituimos en (ec2) y obtenemos el sistema

external image 36%20-%20w2cakw2mb=f0.gif

external image 37%20-%20kw2mawcb=0.gif

de donde otenemos A y B, que son:

external image 38%20-%20A=wcf0.gif
external image 39%20-%20B=kw2mfo.gif

Es decir, nuestra solución particular es la siguiente:

external image 40%20-%20x=f0k-w2m2.gif

Para simplificar la ecuación hacemos el siguiente cambio:

external image 41%20-%20FI=TAN-1.gif

y nos queda la siguiente solución particular:

external image 41%20-%20X=F0COSFI.gif


Recordamos que la solución a una ecuación diferencial de 2º orden no homogénea es la suma de la solución homogénea más la particular (x=xh+xp), y que tenemos tres posibles soluciones homogéneas que dependen de los parámetros c (coeficiente de rozamiento viscoso), M (masa móvil) y k (constante elástica), y que definen los casos estudiados anteriormente: sobre amortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado.

Sobreamortiguado:

external image 44%20-%20SOBRE+PART.gif

Críticamente amortiguado:

external image 43%20-%20CRIT+PART.gif

Submortiguado:

external image 42%20-%20SUB+PART.gif


En todos, como consecuencia del tipo de movimiento y con la única necesidad de que exista un mínimo amortiguamiento, tenemos una parte que decrece, que tiende a cero (la que define el tipo de vibración) y una parte que es constante en el tiempo, consecuencia de la vibración forzada. A la primera parte se la denomina transitoria y a la segunda estacionaria, ya que con el transcurso del tiempo la primera desaparece, se hace cero, pero la segunda permanece.

external image 47%20-%20Trans_estac.gif