Vibraciones Mecánicas


Partimos de un sistema en el que hay una masa y un muelle entre la masa y una pared (eje Y). A este sistema se le llama sistema resonante de 2º orden. Existen muchos ejemplos más, pero nos vamos a centrar en éste por lo inmediato que resulta comprobar lo aquí mostrado, cualquiera pude coger una goma y un peso y hacerlo oscilar. Se pueden coger diferentes tipos de gomas y se puede ver que el comportamiento de las oscilaciones no es el mismo, al igual que si variamos el peso.
Este sistema puede representar un altavoz, es una masa móvil (cono) y un muelle (suspensión). Muchos de los lectores tendrán algo de experiencia con el diseño de cajas acústicas y conocerán las cajas cerradas. Una caja cerrada, aparte de evitar el cortocircuito acústico, es capaz de modificar los parámetros del altavoz, de manera que este de comportará de manera diferente según sea la caja.

Hay infinidad de sistemas que se comportan igual, no sólo mecánicos, sino como veremos al final eléctricos.
Si su nivel de matemáticas no le permite seguir la deducción, al final de cada apartado hay un párrafo con las conclusiones en lenguaje no matemático.

Todas las derivadas serán respecto del tiempo.
La posición de la masa es x, su masa M y K la constante elástica del muelle, y el muelle se halla parcialmente extenido.
Tenemos:

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external image 02-adx%27%27dt.gif

external image 03%20-%20fmuelle.gif (ley de Hooke)


Por la ley de acción y reacción (2ª de Newton), el módulo de la fuerza que ejerce el muelle sobre la masa es la misma que recibe la masa (de cajón), y el sentido el opuesto. Osea:

external image 04%20-%20mdx-kx.gif

Para resolver de manera sencilla la ecuación se hace

external image 05%20-%20akx.gif, y de la ecuación característica se deduce que la solución es de la forma:

external image 06%20-%20dxdtax.gif

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Aplicando las condiciones iniciales de

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sale que la solución es:

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(x0 posición inicial).


Osea, que el sistema resonante vibra de manera armónica y permanece así indefinidamente si nada lo frena. Esto, como veremos a continuación, en el mundo real no es posible, ya que siempre hay pérdidas de esa energía que le hace vibrar.
La frecuencia a la que vibra el sistema se conoce como frecuencia de resonancia del sistema (Fs), y viene dada por:

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